文章编号：165693 / 分类：行业资讯 / 更新时间：2025-02-21 01:35:40 / 浏览：次
揭秘连比方程解法：一步步教你如何解开难题

一、引言

在数学领域，连比方程是一种常见的数学问题，广泛应用于日常生活、工程技术和科学研究。
连比方程涉及到多个比例的相互关联，解题过程较为复杂。
本文将详细介绍连比方程的概念、特点，并给出详细的解题步骤和实例，帮助读者逐步掌握解开连比方程的方法。

二、连比方程概述

连比方程是指一组数之间按照一定的比例关系相互关联。
在连比方程中，通常会涉及到多个未知数的比例关系，这些未知数通过比例关系相互关联，形成一个方程组。
连比方程的形式多样，常见的是连比式方程组。

三、连比方程的特点

1. 涉及多个未知数：连比方程通常包含多个未知数，这些未知数通过比例关系相互关联。
2. 比例关系明确：连比方程中的未知数之间存在一定的比例关系，这些比例关系通常是已知的或者可以通过题目给出的条件推导出来。
3. 解题过程复杂：由于涉及到多个未知数和比例关系，连比方程的解题过程相对复杂，需要一定的数学技巧和步骤。

四、连比方程的解法

解连比方程的一般步骤如下：

1. 理解题意：仔细阅读题目，理解题目中的条件和要求，确定连比方程中的已知量和未知量。
2. 建立方程：根据题目中的条件和比例关系，建立连比方程。
3. 化简方程：对建立的连比方程进行化简，将复杂的比例关系转化为简单的数学表达式。
4. 求解未知量：通过代数运算，求解连比方程中的未知量。
5. 检验答案：求解完成后，将得到的解代入原方程进行检验，确保答案的正确性。

五、实例解析

假设我们有以下连比方程问题：甲、乙、丙三个数的比为3:4:5，它们的和为60，求这三个数分别是多少？

解题步骤如下：

1. 设甲、乙、丙三个数分别为3x、4x和5x（根据已知的比例关系）。
2. 根据题目中的条件“它们的和为60”，建立方程：3x + 4x + 5x = 60。
3. 化简方程：将方程化简为12x = 60。
4. 求解未知量：通过求解方程得到x = 5。
5. 计算甲、乙、丙三个数的值：甲 = 3x = 15，乙 = 4x = 20，丙 = 5x = 25。
6. 检验答案：将甲、乙、丙的值代入原方程，验证它们的和是否为60，确保答案的正确性。

六、注意事项与困难点解析

在解决连比方程时，需要注意以下几点：

1. 理解题意是关键：在解决连比方程时，首先要理解题目的条件和要求，明确已知量和未知量。
2. 比例关系的运用：在建立连比方程时，要正确运用比例关系，将复杂的比例关系转化为简单的数学表达式。
3. 化简与求解：在解题过程中，要注意方程的化简和求解，通过代数运算求解未知量。
4. 检验答案的重要性：求解完成后，一定要将得到的解代入原方程进行检验，确保答案的正确性。

连比方程的困难点主要在于理解题目的条件和要求，以及正确运用比例关系建立方程。
在解题过程中，需要灵活运用代数知识和数学技巧，逐步求解未知量。

七、总结与展望

本文详细介绍了连比方程的概念、特点、解法及实例解析。
通过理解题意、建立方程、化简求解和检验答案等步骤，读者可以逐步掌握解开连比方程的方法。
在实际应用中，连比方程广泛存在于生活和工程领域，掌握其解法对于解决实际问题具有重要意义。
希望本文的介绍能对读者有所帮助，未来在数学学习和实际应用中取得更好的成绩。

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九章算术主要内容

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，主要内容分别是：

1、第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。 包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。 另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。

2、第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术。

3、第三章“衰分”：比例分配问题。

4、第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。

5、第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；

6、第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。 今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。

7、第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。

8、第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。

9、第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。 其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。 提出了勾股数问题的通解公式。

扩展资料：

《九章算术》的历史影响

1、是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。 在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。 注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。

2、《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。 1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书

3、在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。 例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。

4、《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。 《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。

求100道解放程、方程组、一元一次不等是、10道几何证明题、10道列方程组或者列不等式解应用题。急用快快

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？分析:因为现在总有36张铁皮制盒身和盒底.所以x+y=36.公式;用制盒身的张数+用制盒底的张数=总共制成罐头盒的白铁皮的张数36.得出方程(1).又因为现在一个盒身与2个盒底配成一套罐头盒.所以;盒身的个数*2=盒底的个数.这样就能使它们个数相等.得出方程(2)2*16x=40y x+y=36 (1) 2*16x=40y (2) 由(1)得36-y=x (3) 将(3)代入(2)得; 32(36-y)=40y 1、把200千米的水引到城市中来，这个任务交给了甲，乙两个施工队，工期50天，甲，乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成。 问：甲乙两队原计划各修多少千米？解：设甲乙原来的速度每天各修a千米，b千米根据题意（a+b）×50=200（1）10×（a+0.6）+40a+30b+10×（b+0.4）=200（2）化简a+b=4（3）a+0.6+4a+3b+b+0.4=205a+4b=19(4)(4)-(3)×4a=19-4×4=3千米b=4-3=1千米甲每天修3千米，乙每天修1千米 甲原计划修3×50=150千米乙原计划修1×50=50千米2、小华买了4支自动铅笔和2支钢笔,共付14元;小兰买了同样的1支自动铅笔和2支钢笔,共付11元。 求自动笔的单价，和钢笔的单价。 解：设自动铅笔X元一支 钢笔Y元一支4X+2Y=14X+2Y=11解得X=1Y=5则自动铅笔单价1元钢笔单价5元3、据统计2009年某地区建筑商出售商品房后的利润率为25%。 （1）2009年该地区一套总售价为60万元的商品房，成本是多少？（2）2010年第一季度，该地区商品房每平方米价格上涨了2a元，每平方米成本仅上涨了a元，这样60万元所能购买的商品房的面积比2009年减少了20平方米，建筑商的利润率达到三分之一，求2010年该地区建筑商出售的商品房每平方米的利润。 解：（1）成本=60/（1+25%）=48万元（2）设2010年60万元购买b平方米2010年的商品房成本=60/（1+1/3）=45万60/b-2a=60/（b+20）（1）45/b-a=48/（b+20）（2）（2）×2-（1）30/b=36/（b+20）5b+100=6bb=100平方米2010年每平方米的房价=/100=6000元利润=6000-6000/（1+1/3)=1500元三、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆? 解：设还需要B型车a辆，由题意得20×5+15a≥a≥200a≥40/3解得a≥13又1/3 ．由于a是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14．答：至少需要14台B型车．四、某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元。 如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时? 解：设甲场应至少处理垃圾a小时 550a+（700-55a）÷45×495≤a+（700-55a）×11≤a+7700-605a≤≤55aa≥6 甲场应至少处理垃圾6小时五、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处可住；若每个房间住8人，则空出一间房，并且还有一间房也不满。 有多少间宿舍，多少名女生？ 解：设有宿舍a间，则女生人数为5a+5人根据题意a>0(1)0<5a+5<35（2）0<5a+5-[8（a-2）]<8(3)由（2）得-5<5a<30-10(2)由（1）3a+8-5a+5<32a>10a>5由（2）3a+8-5a+5>02a<13a<6.5那么a的取值范围为5

三大几何难题是怎么导致近世代数产生的

三大几何难题古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。 这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。 这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。 一.三大难题的提出 实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。 相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。 画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。 古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。 他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。 漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。 到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。 二.貌以简单其实难 从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。 也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。 可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。 其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。 可是谁也想不出解决问题的办法。 三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。 后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？ 数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。 三.高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪。 法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。 最先突破的是德国数学家高斯。 他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。 他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。 由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。 高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。 他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。 由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。 紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。 由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。 高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。 他被人们赞誉为“数学王子”。 高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。 四.最后的胜利 解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。 而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。 因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。 这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。 标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。 谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最后胜利者。 1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。 他的证明方法是这样的： 假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。 所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线 段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。 用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。 实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。 根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。 1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。 假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。 从此，古典几何的三大难题都有了答案。 2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。 更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过，的确成立)，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。 每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。 特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。 群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。 所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。 群和方程联系初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。 沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。 发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。 现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。 这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。 向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。 关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。 到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。 所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。 这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。 遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。 既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。 阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。 伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。 他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。 有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。 公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。 我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。 ”伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。 他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。 伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。 从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。 在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。 代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。 虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。 因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。 比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。 多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。 研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。 这些大体上和中学代数里的内容相同。 多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。 解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。 德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。 行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。 矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。 利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。 矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。 因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 比较重要的代数系统有群论、环论、域论。 群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。 现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。 那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。 尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。 这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。 代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。 代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。 沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。 发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。 现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。 这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。 向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。 关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。 到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。 所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。 这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。 遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。 既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。 阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。 伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。 他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。 有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。 公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。 我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。 ”伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。 他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。 伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。 从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。 在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。 代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。 虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。 因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。 比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。 多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。 研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。 这些大体上和中学代数里的内容相同。 多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。 解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。 德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。 行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。 矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。 利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。 矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。 因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 比较重要的代数系统有群论、环论、域论。 群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。 现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。 那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。 尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。 这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。 代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。 代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。

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