文章编号：26242 / 分类：互联网资讯 / 更新时间：2024-09-17 07:34:08 / 浏览：次

格林第一第二第三公式的推导如下：

格林公式（Greens theorem）旅晌银又称为“格林第一公式”，是微积分中用于计算曲线积分和曲面积分之间相关的一种工具。

它断言：曲线积分及其对应的面积分可以相互转换。

详细而言，格林公式是将一个平面区域的边界曲线C划分为若干小段，经过对这些小段的积分，求解面积分和曲线积分之间的相关。

详细来说，关于一个平面区域D，其边界曲线C由若干小段组成。假定f(x,y)和g(x,y)都是在D中的可微函数，则格林公式表述如下：

∫∫D(∂g(x,y)/∂x-∂f(x,y)/∂y)dxdy=∮Cf(x,y)dx+g(x,y)dy

其中，左侧为D区域内f(x,y)和g(x,y)导致的向量场的旋度，右侧为边界曲线C的曲线积分。

格林公式很罕用于物理学和工程学畛域，特意是触及到液体流动和电场的疑问。

例如，在钻研电场时，咱们可以经过格林公式将电势差和电场强度区分示意为曲线积分和面积分的方式，从而愈加繁难地启动计算和剖析。

格林第一公式及其运行

格林公式是一个数学公式，它形容了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分当中的亲密相关，大少数状况下用于二元函数的全微分求积。

格林公式推导？

格林公式是一个数学公式，它形容了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分当中的亲密相关。

大少数拆宴状况下用于二元函数的全微分求积。

无关概念

设D为平面区域，假定D内任一闭曲线所围的局部区域都属于D，则D称为平面单连通区域。

直观地说，单连通区域是没有空间的区域，不然称为复连通区域。

当xOy平面上的曲线终点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。

设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规则当一团体沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L无关区域D的正方向，反之为负方向。

这只是最繁难的一种情景，推导就是这么繁难，没什么好解释的。

还有其它更复杂的情景，可参阅数谨猜学专业的考试教材《数学剖析》，这个疑问就详细了。

学习初等数学只分明怎样用，至于怎样来的则不关键

Green定理(格林公式)

经过一个详细的例子，咱们展现了Green定理（格林公式）在计算平面向量场沿边界环量时的繁复运行。

接上去，咱们将这个论断推行至恣意平面闭区域。

繁难来说，Green公式标明，关于由润滑曲线围成的区域，其向量场环量等于区域内曲边梯形边界上的向量场线积分之和，方向依照逆时针，且公共边界上的线斗缓积分相互对消。

更深化地，咱们假定区域由两条直线[公式]和两条润滑曲线[公式]定义，其边界可以合成为两个曲边矩形。

关于每个这样的区域，咱们将其边界分模液成四段，旦销物并应用微积分中的常识，计算各段的向量场线积分，最后两局部结果相加。

雷同地，关于一切这样的曲边矩形，咱们重复这个环节。

最后，当这些区域的向量场线积分总和时，咱们获取了Green公式的普通方式：假设[公式]是有限条润滑敞开曲线围成的区域，并且向量场[formula]在[formula]上润滑，那么：[公式]，其中曲线积分沿[formula]的逆时针方向。

这就是Green公式，它是计算此类复杂区域向量场环量的关键工具。

格林公式的条件是

格林公式的条件是区域D必定是单连通的，也就是悔樱如说区域D是延续的，深刻讲颂汪，区域D中没有洞；组成区域D的曲线必定是延续的；曲线L（可以是分段组成）具备正向规则；被积函数在D中具备延续一阶延续偏导数。

格林公式，格林函数是初等数学，物理学的关键内容。

设闭区域由分段润滑的曲线围成,函数及在上具备一阶延续偏导数，则有∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy其中是的取正向的边界曲线。

公式叫做格林(green)公式。

格林公式的条件是区域D必定是单连通的，也就是说区域D是延续的，深刻讲，区域D中没有洞；组成区域D的曲线必定是延续的；曲线L（可以是分段组成）具备正向规则；被积函数在D中具备延续一阶延续偏导数。

格林公式的发现者——乔治·格林

格林公式，格林函数是初等数学，物理学的关键内容，而他的发现者乔治·格林是一位齐全自学成才的英国数学家，西元1828年宣布《论运行数学剖析于电磁学》，论文初次引入了格林公式，格林函数，势函数等如今一切大学都在传授的内容，西元1833年他以四十岁之龄成为剑桥大学的本科生，但格林辞世时，他的上班在数学界并不知名，死后他的成就被物理学家发现并运行于物理学和数学畛域，取得渺小完成，也因此而知名于世。

乔治·格林于1793年7月14日出世于诺丁汉郡的英国小镇斯内顿，如今是诺丁汉市的一局部，是一位兴盛的磨坊主和面包师的惟一儿子。

他体现出早期的数学天分，并在八岁时被送到外地一所学校，听说他在那里体现杰出，但在一年之后退出了他的父亲。

让咱们快进到1828年，他出版了论文，数学剖析的电学和磁学的切实运行随笔。

正是由于这一点和起初的一些后续作品，当天他才被评为环球上最平凡的数学家和物理学家。

依据他的传记作者，历史学家多丽丝玛丽坎内尔，他撰写了少量关于他的书籍和论文，“自从他27年前退出学校以来，他的智力开展无所不知。

咱们知道他在父亲的工厂上班了很长时期，他的表弟通知咱们他碧启示现磨坊主的职责“令人厌恶”。

他因花在数学上的闲暇时期而知名。

“

阿尔伯特爱因斯坦在1930年访问诺丁汉时期，在那里他看到了1828年文章的正本，他说他置信格林比他的时期提早了20年。

坎内尔说，物理学家当天发现格林的论文，关于固态物理学和弹性的钻研是“开创性的”，自20世纪中期以来，他的钻研关于从事核物理学钻研的人来说是“无法或缺的”。

她在一篇题为“乔治格林：一位奥秘的数学家”的1999年文章中写道：“绿色首先在电学中经常使用了潜在这个词。

”

怎样判别Green规律逆时针是正还是逆时针是正？

不是大神

答：Green公式的正向边界定义为—判咐— 沿着曲线走，被积区域在你的左手侧

例坦握1：被积区域为圆时——则沿着逆掘信纯时针方向走，圆在左手侧，推出逆时针为正

例2：被积区域为圆环，则对内圈而言顺时针为正，对外圈而言逆时针为正

Green定理(格林公式)

让咱们从一个直观的例子开局，探求Green定理的魅力。

构想咱们要计算一个平面向量场在矩形边界上的环量，逆时针方向绕行。

经过火段积分，咱们发现了一个令人惊叹的公式:

这个繁复的等式验证了咱们的直觉，如今，咱们宿愿将其裁减到更宽泛的平面闭区域。

首先，咱们将复杂的区域合成为有数个没有交点的小块，包含咱们相熟的曲边梯形，它们都按逆时针方向计数。

关键在于，当小块之间共享边界时，由于方向相反，它们的奉献相颤高互对消，仅需关注茄好尺整个边界。

证实的环节相似于矩形区域，只有将边界分为四局部，区分在每个局部上运行相反的逻辑。

雷同的，关于第二个曲边矩形，也能获取相似的表白式。

最终，Green定理概括为这样一条准绳：当面对一个袜桥由润滑敞开曲线 \( C \) 围成的平面闭区域 \( D \)，关于其中的恣意润滑向量场 \( \mathbf{F} \)，其环量与曲线积分相关，方向沿 \( C \) 逆时针，公式如下：

这就是Green定理，一个衔接微积分与几何的关键桥梁，它提醒了向量场与敞开曲线之间深入的咨询。

经过这个定理，咱们不只能计算环量，还能洞察向量场的性质，极大地裁减了咱们的剖析才干。

二重积分的格林公式是怎样的?

看详细状况。

关键调查格林公式的运用：【定理】设闭区域由分段润滑的曲线围成,函数及在上具备一阶延续偏导数,则有

(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy

其中是的取正向的边界曲线.

公式(1)叫做格林(green)公式.

【证实】先证

假定区域的状态如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至少两点)

易见,图二所示意的区域是图一所示意的区域的一种不凡状况,咱们仅对图一所示意的区域给予证实即可.

另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有

因此

再假定穿过区域外部且平行于轴的直线与拿亮的的边界曲线的交点至少是两点,用相似的方法可证

综合有

当区域的边界曲线与穿过外部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的桐敏州任何直线的交点至少是两点时,咱们有格林公式,

同时成立.

将两式兼并之后即得格林公式

注:若区域不满局蔽足以上条件,即穿过区域外部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超越两点时,可在区域内引进一条或几条辅佐曲线把它分划成几个局部区域,使得每个局部区域适宜上述条件,仍可证实格林公式成立.

格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的咨询,因此其运行十分地宽泛.

Green定理(格林公式)

咱们先来看一个例子：计算平面向量场[公式] 沿矩形 [公式] 的边界 [公式] 的环量，方向为逆时针方向。

分段积分：[公式] 其中 [公式] 同理 [公式] 则，咱们有 [公式]咱们获取了个繁复柔美的等式，咱们看这是好的，试图把这个结果推而广之。

咱们曾经知道了，关于弊闷矩形区域，有这个论断，并且想拿没把它推行至恣意平面闭区域[公式] 。

首先，咱们把区域[公式] 宰割为许多没有公共内点的小块消卜纳，包含两种 曲边梯形（在单变量微积分中，咱们就和它很相熟了），取向都是逆时针。

关于相邻小块，公共边界局部被计算了两次，但方向相反，因此相互对消，故只有思考全体的边界。

设 “曲边矩形”[公式] 是这样的区域, 它是由两条直线 [公式] 上的某一段 ( 也有或许退步成一点 ) 以及两条润滑曲线 [公式] 围成的区域[公式]则[公式] 上式的证实与对矩形区域的证实相仿, 把[公式] 分红四段: [公式] 在[公式] 上, [公式] , 在 [公式] 上区分有[公式]两式相加即可获取结果. 同理, 在另一种 “曲边矩形”[公式] 上, 可证得相似结果[公式] 相加，即可证实：设[公式] 是有限条逐段润滑的敞开曲线 [公式] 围成的平面闭区域( 因 此 [公式] 是 [公式] 上润滑向量场, 则[公式]其中曲线积分的方向为[公式] 的逆时针方向.上述公式称之为 Green 公式.

格林公式 中的 “正向边界”是什么？

←←搭森薯←←↓ ↑↓ D↑↓ ↑→→→→你沿着边界L走,区域D不时在你的左手知者边那么L就是区域D的正向边界反之,区域春哗D不时在你的右手边那么L就是区域D的负向边界上图的L就是D的正向边界

二重积分格林公式怎样证实的？

在平面闭区域D上的二重积分，可经过沿闭区域D的边界曲带灶线L上的曲线积分来表白；或许说，敞开门路的曲线积分可以消蚂用二重积分来计算。

如区域D不满足以上条件，即穿过区域外部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超越两点时，可在区域内引进一条或几条辅佐曲线把它分划成几个局部区域，使得每个局部区域适宜上述条件，仍可证实格林公式成立。

留意：关于复连通区域D，格林公式的右端应包含沿区域D的所有边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。

格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的咨询，因此其运行十分地宽泛。

格林公式如下：

裁减资料

区域：平面点集D称为区域，假设它满足如下两个条件：

（1）D是一个开集；

（2）D是连通的，即D中任何两点都可以用齐全属于D的一条折线衔接起来。（如图1所示）

图1 区域

单/双连通区域：设z=z(t)（a≤t≤b）为一条延续曲线，z(a)与z(b)区分称为C的终点与终点。

关于满足a
没有重点的延续曲线C，称为繁难曲线或约当(Jordan)曲线。

假设曲线C的终点与终点重合，即z(a)=z(b)，那么曲线C称为繁难闭曲线。

由此可知，繁难闭曲线自身不会相交。

恣意一条繁难闭曲线C把整个复平面惟一地分红三个互不相交的点集，其中除去C自身以外，一个是有界区域，称为C的外部，另一个数无界区域，称为C的外部，C为它们的公共边界。

复平面上的一个区域G，假设在其中任做一条繁难闭曲线，而闭曲线的拿行埋外部总属于G，就称G为单连通区域（如图二左所示）。

一个区域假设不是单连通区域，就称为多连通区域（如图二右所示）。

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